Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，点D是 的中点，过D作⊙O的切线交AC于E，DE=3，CE=1．

（1）求证：DE⊥AC；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AD，

∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE=90°，

∵D是 的中点，

∴ = ，

∴∠CAD=∠OAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AE∥OD，

∴∠AED=180°﹣∠ODE=90°，

∴DE⊥AC

（2）解：作OF⊥AC于F，

则AF=CF，四边形OFED是矩形，

∴OF=ED=3，OD=EF，

设⊙O的半径为R，则AF=CF=R﹣1，

在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，

∴（R﹣1）2+32=R2，

解得R=5，

即⊙O的半径为5．

【解析】（1）连接AD，由DE是⊙O的切线，得到∠ODE=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，等量代换得到∠CAD=∠ODA，根据平行线的判定 定理得到AE∥OD，于是得到结论；（2）作OF⊥AC于F，推出四边形OFED是矩形，根据矩形的性质得到OF=ED=3，OD=EF，设⊙O的半径为R，则AF=CF=R﹣1，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系和切线的性质定理的相关知识点，需要掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．