Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称为“理想点”．例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．
（1）若点M（2，a）是“理想点”，且在正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）图象上，求这个正比例函数的表达式．
（2）函数y=3mx﹣1（m为常数，且m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请用含m的代数式表示出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点M（2，a）是正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，

∴a=4，

∵点M（2，4）在正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）图象上，

∴4=2k，

解得k=2

∴正比例函数的解析式为y=2x

（2）

解：假设函数y=3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），

则有3mx﹣1=2x，

整理得：（3m﹣2）x=1，

当3m﹣2≠0，即m≠ 时，解得：x= ，

当3m﹣2=0，即m= 时，x无解，

综上所述，当m≠ 时，函数图象上存在“理想点”，为（ ， ）；

当m= 时，函数图象上不存在“理想点”

【解析】（1）根据“理想点”，确定a的值，即可确定M点的坐标，代入正比例函数解析式，即可解答；（2）假设函数y=3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），则有3mx﹣1=2x，整理得：（3m﹣2）x=1，分两种情况讨论：当3m﹣2≠0，即m≠ 时，解得：x= ，当3m﹣2=0，即m= 时，x无解，即可解答．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正比例函数的图象和性质的相关知识，掌握正比函数图直线，经过一定过原点．K正一三负二四，变化趋势记心间．K正左低右边高，同大同小向爬山．K负左高右边低，一大另小下山峦．