Question

【题目】已知直线l与直线l外一点P，求作：过点P且垂直于直线l的垂线a（尺规作图）．

现给出一种作法，如下：

步骤一：在直线l外取一点E，以点P为圆心，以线段PE为半径画弧，交直线l于点M，N；

步骤二：分别以点M、N为圆心，大于线段MN为半径画弧，过两弧的交点的直线a就是所求作的垂线．

（1）按上述操作步骤，请成功作出过点P且垂直于直线l的垂线a．（符合要求的一种图形），并说明理由．

（2）从你作图的过程中，思考要保证这种作法顺利作出，线段PE应该满足什么条件？

（3）为了避免这种情况产生，小明说只要在直线l上取点E好了，并给出了画法，画法对吗？请说明理由．

（作法：在直线l上取两点B、D，以P为圆心，以PD 为半径画圆交直线l于点E，以P为圆心，以PB 为半径画圆交直线l于点F，其中较小圆分别交PB，PF于点M、N，连接E、N和D、M，EN和MD相交于点H，则PH就是所求的垂线．）

（4）请在直线l上取点E，用直尺和圆规过点P且垂直于直线l的垂线a（与小明不同的方法，并要求尽可能简单）．

Answer 1

【答案】答案见解析.

【解析】试题分析：(1)、分点E、点P在直线l的异侧、同侧两种情况来分别进行讨论，从而根据圆的性质得出答案；(2)、根据第一题的情况分析得出线段PE要大于点P到直线的距离；(3)、连接MN，根据题意得出△PMH和△PNH全等，然后根据圆心角的逆定理得出垂线；(4)、利用直径所对的圆周角是直角.

试题解析：(1)、根据点E、点P与直线l的位置关系可分为两种情况：

i）点E、点P在直线l的异侧，如图1所示，

ii）点E、点P在直线l的同侧，再根据点P到直线l 的距离与半径PE长度的比较，圆P与直线l的位置关系可分为三种情况：①圆P与直线l相交，且有两个交点，如图2；

②、圆P与直线l相交，且有一个交点，如图3；③圆P与直线l相离，如图4．

理由如下：

图1，解法：根据第二步作法可得直线a是线段MN的中垂线a， ∵半径PM=PN；

∴点P在线段MN的中垂线； ∴点P在直线a上；

图2，解法：同第一题解法一样；

图3，圆P与直线l交点M，N重合，不符合要求，因此不予讨论；

图4中的圆P不能与直线l相交于点M、N两点，因此不能做出直线a．

(2)、根据第一题的情况分析得出线段PE要大于点P到直线的距离．

(3)、正确．根据点E和点D在直线PH的同侧（如图6）或异侧（如图5）两种画法如下：

图5理由： 连接MN，可得MN∥BF， ∴∠MNE=∠NED， ∴=， ∴∠NMD=∠MNE，

∴MH=NH， 由△PMH≌△PNH， ∴∠MPH=∠NPH， ∴PH平分弧MN，即PH垂直ED，

所以PH就是所求的垂线；

图⑥理由：同图⑤证明．

（4）、第一种方法，如图7：

原理：利用直径所对的圆周角是直角，即直径PE所对的∠PBE是直角．

作法：在直线l上取一点E，连接PE，取线段PE中点O，以点O为圆心，线段PO为半径作圆，交直线于点B，作直线PB就是所求的直线a；

第二种方法，如图8：原理：由半径PE=BE可得点E在线段PB的中垂线上，同理可得点A在线段BP的中垂线上，所以直线l是线段BP的中垂线，即直线BP就是所求的直线a；

作法：在直线l上取点E和点A，然后以点E为圆心，线段PE为半径作圆，再以点A为圆心，线段PA为半径作圆，两圆相交于点P和点B．直线BP就是所求的直线a．