Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．

（1）求证：△ABM∽△NDA；

（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当∠BAM=22.5°时，四边形BMND为矩形，证明见解析.

【解析】分析：（1）由正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，可证得∠ABM=∠ADN=135°，又由∠MAN=45°，可证得∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，即可证得△ABM∽△NDA；（2）由四边形BMND为矩形，可得BM=DN，然后由△ABM∽△NDA，根据相似三角形的对应边成比例，可证得BM2=AB2，继而求得答案．

本题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB=∠ADC=∠ABC=90°，AB=AD．∵∠PAQ＝45°∴∠1+∠2=45°，

∵ND平分∠FDC，MB平分∠EBC，∴∠EBM=∠FDN=45°，∴∠ABM=∠ADN=135°∠2+∠3=45° ，∴∠1=∠3 ∴△ABM∽△NDA

（2）当∠BAM=22.5°时，四边形BMND为矩形

理由：∵∠1=22.5°，∠EBM=45°∴∠4=22.5°，∴∠1=∠4，∴AB=BM

同理AD=DN∵AB=AD∴BM=DN ∵四边形ABCD是正方形∴∠ABD=∠ADB=45°

∴∠BDN=∠DBM=90°∴∠BDN＋∠DBM=180°∴BM∥DN

∴四边形BMND为平行四边形

∵∠BDN=90°∴四边形BMND为矩形.