Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵∠BCA=90°，∠B=30°，

∴∠OAD=∠BAC=60°，

∵OD=OA，

∴△OAD是等边三角形，

∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，

∴∠ADC=∠ACD= ∠OAD=30°，

∴∠ODC=60°+30°=90°，

即OD⊥DC，

∵OD为半径，

∴CD是⊙O的切线

（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴OD=OA=AC= AB=2，

由勾股定理得：CD= = =2 ，

∴S阴影=S△ODC﹣S扇形AOD= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ π．

【解析】（1）证明切线须连半径，证直线和半径垂直；（2） 阴影部分的面积可转化为三角形面积减去扇形面积.
【考点精析】本题主要考查了含30度角的直角三角形和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．