Question

【题目】如图1，已知正方形ABCD边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ、DQ、CQ、BQ．设AP﹦x．

（1）BQ+DQ的最小值是 ，此时x的值是 ；

（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于E，并且∠CQD=90°．

① 求证：QE﹦EC； ② 求x的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①证明见解析；②

【解析】

试题分析：（1）为点B到点D两段折线的和．由两点之间线段最短可知，连接DB，若点Q点落在BD上，此时和最短，且为．考虑到动点运动，这种情形是存在的，由，则，所以，即，求解可得；

由已知条件对称分析，，则，由，可得，那么若有，则结论可证．再分析新条件，易得①结论．在中，根据勾股定理列出方程，求出方程的解即可；

试题解析：（1）若点Q点落在BD上，此时和最短，且为．，则，，即，解得；

①在正方形中，Q点为A点关于BP的对称点，

在中，

即为的中点；

②在中，为的中点，解得