Question

【题目】如图，为的直径，，为上的两点，平分，于．

求证：为的切线；

过点作于，如图，判断和，之间的数量关系，并证明之；

若，，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】

（1）连接OC，如图1，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，则有AD⊥CD可判断OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；

（2）连结CE，如图2，根据角平分线的性质得CD=CF，再证明Rt△ACD≌△ACF得到AD=AF，接着证明Rt△DEC∽Rt△DCA，由相似的性质得DE：DC=DC：DA，然后利用等线段代换即可得到CF2=DEAF；

（3）设⊙O的半径为r，由AD=AF，AD﹣OA=1.5可得到OF=1.5，再证明Rt△ACF∽Rt△ABC，利用相似比可计算出r=3，接着在Rt△FCO中，利用余弦的定义可求出∠COB=60°，然后根据扇形的面积公式和等边三角形面积公式和S阴影部分=S扇形BOC﹣S△BOC进行计算即可．

（1）连接OC，如图1．

∵AC平分∠EAB，∴∠1=∠2．

∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OC∥AD．

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线；

（2）CF2=AFDE．理由如下：

连结CE，如图2．

∵AC平分∠EAB，CD⊥AE，CF⊥AB，∴CD=CF．在Rt△ACD和△ACF中，，∴Rt△ACD≌△ACF，∴AD=AF．

∵四边形CEAB内接于⊙O，∴∠DEC=∠B．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠2=90°，而∠1+∠ACD=90°，∠1=∠2，∴∠DEC=∠ACD，∴Rt△DEC∽Rt△DCA，∴DE：DC=DC：DA，∴DC2=DEDA，∴CF2=DEAF；

（3）设⊙O的半径为r．

∵AD=AF，而AD﹣OA=1.5，∴AF=AD=OA+OF=r+1.5，∴OF=1.5．

∵∠CAB=∠FAC，∴Rt△ACF∽Rt△ABC，∴=，即=，解得：r=3或r=﹣（舍去）．

在Rt△FCO中，∵cos∠COF===，∴∠COB=60°，∴S阴影部分=S扇形BOC﹣S△BOC

=﹣×32=π﹣．