Question

【题目】如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．

Answer 1

【答案】证明：设AB=2，

∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），

∴AP1= ×2= ﹣1，

∴P1B=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ，

∵点O是AB的中点，

∴OB=1，

∴OP1=1﹣（3﹣ ）= ﹣2，

∵P2是P1关于点O的对称点，

∴P1P2=2（ ﹣2）=2 ﹣4，

∴P2B=2 ﹣4+3﹣ = ﹣1，

∵P1B2=（3﹣ ）2=14﹣6 ，P2BP1P2=（ ﹣1）（2 ﹣4）=14﹣6 ，

∴P1B2=P2BP1P2，

∴P1B是P2B和P1P2的比例中项

【解析】设AB=2，根据黄金分割的定义得AP1= AB= ﹣1，则P1B=3﹣ ，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP1= ﹣2，由于P2是P1关于点O的对称点，则P1P2=2 ﹣4，可计算出P2B= ﹣1，然后同过计算得到P1B2=14﹣6 ，P2BP1P2=14﹣6 ，即P1B2=P2BP1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中项．
【考点精析】掌握黄金分割是解答本题的根本，需要知道把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=0.618AB．