Question

【题目】如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，求证：点D是AC的黄金分割点．

Answer 1

【答案】解：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，

所以∠ABC=∠C=72°，

∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠DBC=36°，

在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°

∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，

∴△ACB∽△BCD，

∴AC：BC=BC：DC；

∵∠A=∠ABD，

∴AD=BD，

∵∠DBC=36°，∠C=72°，

∴∠BDC=72°，

∴BD=BC，

∴AD=BC，

∴AC：AD=AD：DC；

即点D是AC的黄金分割点

【解析】欲证点D是AC的黄金分割点，就是证明AC：AD=AD：DC，根据角平分线的性质以及已知条件推知∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，所以△ACB∽△BCD；然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC：AD=AD：DC；最后由等腰三角形的性质得到：BC=BD=DA，代换即可．
【考点精析】通过灵活运用黄金分割，掌握把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=0.618AB即可以解答此题．