Question

【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),B(9,10),AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点。

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E.F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积；

(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C.P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) y= x2x+1；(2) 四边形AECP的面积最大值是,此时P(,)；

(3) Q点的坐标为(4,1)或(3,1),理由见解析.

【解析】分析：(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m22m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.

详解：(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：

×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2c＝1，

所以抛物线的解析式y＝x22x＋1；

(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，

∴x22x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(6，1)，

∵点A(0，1)，点B(9，10)，

∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，m22m＋1)，∴E(m，m＋1)，

∴PE＝m＋1(m22m＋1)＝m2＋3m.

∵AC⊥PE，AC＝6，

∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝ACEF＋ACPF

＝AC(EF＋PF)＝ACEP

＝×6(m2＋3m)＝m2＋9m.

∵0<m<6，

∴当m＝时，四边形AECP的面积最大值是，此时P()；

(3)∵y＝x22x＋1＝(x3)22，

P(3，2)，PF＝yFyp＝3，CF＝xFxC＝3，

∴PF＝CF，∴∠PCF＝45，

同理可得∠EAF＝45，∴∠PCF＝∠EAF，

∴在直线AC上存在满足条件的点Q，

设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，

∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，

①当△CPQ∽△ABC时，

CQ:AC＝CP:AB，(6t):6＝，解得t＝4，所以Q(4，1)；

②当△CQP∽△ABC时，

CQ:AB＝CP:AC，(6t)6，解得t＝3，所以Q(3，1).

综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(4，1)或(3，1).