Question

【题目】如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是O的切线；
（2）求证：BC= AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径．

∴PC是⊙O的切线．

（2）

证明：∵AC=PC，

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，

∴BC=OC．

∴BC= AB．

（3）

解：连接MA，MB，

∵点M是 的中点，

∴ = ，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM．

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴ ，

∴BM2=MNMC．

又∵AB是⊙O的直径， = ，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=4，

∴BM=2 ．

∴MNMC=BM2=8．

【解析】（1）由半径OA=OC，可得等边对等角∠A=∠ACO，则∠COB=2∠A，已知∠COB=2∠PCB，∠A=∠ACO=∠PCB．由直径所对的圆周角是直角可得∠ACO+∠OCB=90°．从而转换得到∠PCB+∠OCB=90°即可证得；（2）“等角对等边”与“等边对等角”相互运用可证OC=BC；（3）连接MA，MB，先证明△MBN∽△MCB．则 ，即BM2=MNMC．由AB是⊙O的直径， = ，AB=4，解出BM，从而可解得MNMC．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．