Question

【题目】如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，∠A=30°，CD∥AB，且CD=．

（1）求∠C的度数；

（2）求证：BC是⊙O的切线；

（3）求阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）∠C=60°；（2）证明见解析；（3）S阴影=3π-．

【解析】试题分析：（1）连接BD，由AD为圆的直径，得到∠ABD为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，根据CD与AB平行，得到一对内错角相等，确定出∠CDB为直角，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出tanC的值，即可确定出∠C的度数；

（2）连接OB，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由CD与AB平行，得到一对同旁内角互补，求出∠ABC度数，由∠ABC-∠ABO度数确定出∠OBC度数为90，即可得证；

（3）过O作OE⊥AB，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，根据勾股定理求出AE的长，进而求出AB的长，确定出三角形OAB面积，再由扇形AOB面积减去三角形AOB面积求出阴影部分面积即可．

试题解析：（1）如图，连接BD，

∵AD为圆O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴BD=AD=3，

∵CD∥AB，∠ABD=90°，

∴∠CDB=∠ABD=90°，

在Rt△CDB中，tanC===，

∴∠C=60°；

（2）证明：连接OB，

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠A=30°，

∵CD∥AB，∠C=60°，

∴∠ABC=180°-∠C=120°，

∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=120°-30°=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC为圆O的切线；

（3）解：过点O作OE⊥AB，则有OE=OA=，

∵AB===3，

∴S△OAB=ABOE=×3×=，

∵∠AOB=180°-2∠A=120°，

∴S扇形OAB==3π，

则S阴影=S扇形OAB-S△AOB=3π-．