Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．

（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求 的长；

（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AG=4﹣4；（2）BF是⊙O的切线，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）连接OG．由∠ACF=30°，得到∠AOG=60°，再由弧长公式求出的长即可；

（2）结论：BF是⊙O的切线．先证四边形BOHF是平行四边形，再证OB⊥BF即可；

试题解析：（1）连结OG．∵∠ACF=30°，∴∠AOG=60°，∴==；

（2）结论：BF是⊙O的切线，

理由：∵AC是直径，∴∠CBA=90°，∵BC=BA，OC=OA，∴OB⊥AC，∵FH⊥AC，∴OB∥FH，在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，∴FH=CF，∵CA=CF，∴FH=AC=OC=OA=OB，∴四边形BOHF是平行四边形，∵∠FHO=90°，∴四边形BOHF是矩形，∴∠OBF=90°，∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切线．