Question

【题目】已知：△ABC是边长为3的等边三角形,以BC为底边作一个顶角为120等腰△BDC.点M、点N分别是AB边与AC边上的点,并且满足∠MDN＝60.

（1）如图1,当点D在△ABC外部时,求证：BM+CN＝MN；

（2）在（1）的条件下求△AMN的周长；

（3）当点D在△ABC内部时,其它条件不变,请在图2中补全图形,并直接写出△AMN的周长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）3.

【解析】试题分析：（1）延长AB至F，使BF=CN，连接DF，只要证明△BDF≌△CND，△DMN≌△DMF即可解决问题；

（2）利用（1）中结论即可解决问题；

（3）延长BD交AC于P，CD于Q，令KP=QM，交AC于P，连接DK．通过证明△BDQ≌△CDP，△MDQ≌△PDK，△MDN≌△KDN证得△AMN的周长=（AB+AC）=3．

试题解析：（1）延长AB至F，使BF=CN，连接DF，

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°

∴∠BCD=∠DBC=30°

∵△ABC是边长为3的等边三角形

∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°

∴∠DBA=∠DCA=90°

在Rt△BDF和Rt△CND中，

∵BF=CN，DB=DC

∴△BDF≌△CND

∴∠BDF=∠CDN，DF=DN

∵∠MDN=60°

∴∠BDM+∠CDN=60°

∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边

∴△DMN≌△DMF，

∴MN=MF，

∵MF=BM+BF=MN+CN，

∴MN=BM+CN．

（2）∵MN=BM+CN，

∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．

（3）延长BD交AC于P，CD于Q，令KP=QM，交AC于P，连接DK．

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°

∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDQ=∠CDP=60°

又∵△ABC等边三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∴∠MBD=∠PCD=30°，CQ⊥AB，BP⊥AC，

∴AQ=BQ=AB=，AP=PC=AC=，

在△BDQ和△CDP中，

，

∴△BDQ≌△CDP（ASA），

∴BQ=PC，QD=PD，

∵CQ⊥AB，BP⊥AC，

∴∠MQD=∠DPK=90°，

在△MDQ与△PDK中，

，

∴△MDQ≌△PDK（SAS），

∴∠QDM=∠PDK，DM=DK，

∵∠BDQ=60°∠MDN=60°，

∴∠QDM+∠PDN=60°，

∴∠PDK+∠PDN=60°，

即∠KDN=60°，

在△MDN与△KDN中，

，

∴△MDN≌△KDN（SAS），

∴MN=KN=NP+PK，

∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AQ+AP=+=3

故△AMN的周长为3．