Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，延长AB到点C，使得2BC=3OB，D是⊙O上一点，连接AD，CD，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点F，过点D作DE⊥AC于点E，且DE=DF．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB=4．

①求DF的长；

②连接OF，交AD于点M，求DM的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①DF的长为；②DM的长为．

【解析】试题分析：（1）连接OD，根据 DF⊥AF，DE⊥AC，DF=DE，可得∠DAE=∠DAF，由OA=OD，得∠OAD=∠DOA，再根据∠DAF+∠ADF=90°，从而得∠ODA+∠ADF=90°，从而问题得证；

（2）①由已知可得半径OA=OB=2，再根据2BC=3OB，求得BC=3，再利用三角形的面积即可得DE的长；

②由OD∥AF，得，再根据OC=5，CA=7，AD=AM+DM，从而可得，在Rt△ODE中，求出OE长，在Rt△ADE中，求出AD长，从而可得DM长.

试题解析：（1）如图，连接OD．

∵DF⊥AF，DE⊥AC，DF=DE，

∴∠DAE=∠DAF，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠DOA，

∵∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠ODA+∠ADF=90°，

∴∠ODF=90°，

∴OD⊥CF，

∴CD是⊙O的切线．

（2）①∵AB=4，

∴OA=OB=2，

∵2BC=3OB，

∴BC=3，

在Rt△OCD中，CD=，

∵OCDE=ODCD，

∴DE=；

②∵OD∥AF，

∴， ，

∵OC=5，AC=7，

∴，∴，

在Rt△ODE中，OE==，

在Rt△ADE中，AD=，

∴DM=．