Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=ax+a；（2）a=﹣；（3）能，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．

（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，利用待定系数法确定yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），从而确定S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，根据最值确定a的值即可；

（3）分以AD为对角线、以AC为边，AP为对角线、以AC为边，AQ为对角线三种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．

解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，

解得x1=﹣1，x2=3

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣1，0），

如图1，作DF⊥x轴于F，

∴DF∥OC，

∴=，

∵CD=4AC，

∴==4，

∵OA=1，

∴OF=4，

∴D点的横坐标为4，

代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐标代入y=kx+b得，

解得，

∴直线l的函数表达式为y=ax+a．

（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，

则，

解得：，

∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），

∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，

∴有最大值﹣a=，

∴a=﹣；

（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，

解得x1=﹣1，x2=4，

∴D（4，5a），

∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，

设P1（1，m），

①若AD是矩形的一条边，

由AQ∥DP知xD﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），

m=yD+yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），

∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，

即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，

∴P1（1，﹣）．

②若AD是矩形的一条对角线，

则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），

m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），

∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，

∴AP2+PD2=AD2，

∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，

PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，

AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，

∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，

解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，

∴P2（1，﹣4）．

综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．