Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与抛物线 交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为 ．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q．当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．

（1）求b、c的值．
（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．
（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN的周长为C，求C与m之间的函数关系式，并写出C随m增大而增大时m的取值范围．
（4）当△PQM与坐标轴有2个公共点时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线y=﹣x+3与x轴相交于点A，

∴A（3，0），

∵点B在直线y=﹣x+3上，且B的横坐标为﹣ ，

∴B（﹣ ， ），

∵A，B在抛物线上，

∴ ，

∴

（2）解：方法1、由（1）知，b= ，c= ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+ ，

设P（m，﹣ m2+ m+ ），

∵点Q在直线y=﹣x+3上，

∴Q（m，﹣m+3），

∵点N在直线AB上，

∴N（（ m2﹣ m﹣ ），（﹣ m2+ m+ ）），

∴PN=| m2﹣ m﹣ ﹣m|=| m2﹣ m﹣ |

∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣（﹣m+3）|=|﹣ m2+ m+ |，

∵四边形PQMN时正方形，

∴PN=PQ，

∴| m2﹣ m﹣ |=|﹣ m2+ m+ |，此时等式恒成立，

当m＜0且m≠﹣ 时，

∵MN与y轴在PQ的同侧，

∴点N在点P右侧，

∴ m2﹣ m﹣ ＞m，

∴m＜﹣ ，

当m＞0且m≠3时，

∵MN与y轴在PQ的同侧，

∴点P在点N的右侧，

∴ m2﹣ m﹣ ＜m，

∴﹣ ＜m＜3，

∴0＜m＜3，

即：m的范围为m＜﹣ 或0＜m＜3；

方法2、如图，

记直线AB与y轴的交点为D，

∵直线AB的解析式为y=﹣x+3，

∴D（0，3），

∴OD=3，

∵A（3，0），

∴OA=3，

∴OA=OB，

∴∠ODA=45°，

∵PQ∥y轴，

∴∠PQB=45°，

记：直线PN交直线AB于N'，

∵四边形PQMN是正方形，

∴∠QPN=90°，

∴∠PN'Q=45°=∠PQN'，

∴PQ=PN'，

∵四边形PQMN是正方形，

∴PQ=PN，

点N在点P的左侧时，点N'都在直线AB上，

∵MN与y轴在PQ的同侧，

∴m的范围为m＜﹣ 或0＜m＜3

（3）解：由（1）知，b= ，c= ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+ ，

设P（m，﹣ m2+ m+ ），

∵点Q在直线y=﹣x+3上，

∴Q（m，﹣m+3），

∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣（﹣m+3）|=|﹣ m2+ m+ |，

∵点P在点A，B之间的抛物线上，

∴PQ=﹣ m2+ m+ ，（﹣ ＜m＜3且m≠0），

∵设正方形PQMN的周长为C，

∴C=4PQ=4（﹣ m2+ m+ ）=﹣2m2+ m+2=﹣2（m﹣ ）2+ ，

∵C随m增大而增大，

∴m＜ ，

∴﹣ ＜m＜ 且m≠0

（4）解：当△PQM与坐标轴有2个公共点时，

∴m＜0或0＜m＜3

当0＜m＜3，PN＞yP，

由（2）知，P（m，﹣ m2+ m+ ），PQ=|﹣ m2+ m+ |=﹣ m2+ m+

∵四边形PQMN是正方形，

∴PN=PQ=﹣ m2+ m+ ＞﹣ m2+ m+ ，

∴m＞3，所以，此种情况不符合题意；

当m＜0时，PN＞yP，

∵PQ= m2﹣ m﹣ ，

∵四边形PQMN是正方形，

∴PN=PQ= m2﹣ m﹣ ＞﹣ m2+ m+ ，

∴m＞3（舍）或m＜﹣ ，

即：当△PQM与坐标轴有2个公共点时，m＜﹣

【解析】（1）先确定出点A，B的坐标，最后用待定系数法即可得出结论。
（2）点P在抛物线上，点Q在直线y=﹣x+3上，点N在直线AB上，设出点P的坐标，再表示出Q、N的坐标，即可得出PN=PQ，再用MN与y轴在PQ的同侧，建立不等式即可得出结论。
（3）点P在点A，B之间的抛物线上，根据（2）可知PQ的长，设正方形PQMN的周长为C，根据C=4PQ，建立C与m的函数关系式，求出其顶点坐标，根据二次函数的性质，即可求得结论。
（4）分两种情况讨论计算即可求出结论。
【考点精析】掌握一次函数的性质和二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．