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例1、
不等式 
错误解法 
错误分析 当
时，真数
且在所求的范围内（因 
），说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。
正确解法 
例2、
求过点
的直线，使它与抛物线
仅有一个交点。
错误解法 设所求的过点的直线为
，则它与抛物线的交点为
，消去
得：
整理得
直线与抛物线仅有一个交点，
解得
所求直线为
错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为时，没有考虑
与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即
而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直
轴，因为过点，所以
即轴，它正好与抛物线相切。
当所求直线斜率为零时，直线为
平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。
设所求的过点的直线为
则
，
令
解得所求直线为
综上，满足条件的直线为：
(2) 判断的训练
造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。
①注意定理、公式成立的条件
数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。
例3、
实数
，使方程
至少有一个实根。
错误解法 方程至少有一个实根，
或
错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。
正确解法 设
是方程的实数根，则
由于
都是实数，
解得
例4 已知双曲线的右准线为
，右焦点
,离心率
,求双曲线方程。
错解1 
故所求的双曲线方程为
错解2 由焦点知
故所求的双曲线方程为
错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。
正解1 设
为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知
整理得
正解2 依题意，设双曲线的中心为
则 
解得 
所以 
故所求双曲线方程为
②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用
我们知道：
如果
成立，那么
成立，即
，则称是的充分条件。
如果成立，那么成立，即
，则称是的必要条件。
如果
，则称是的充分必要条件。
充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。
例5 解不等式
错误解法 要使原不等式成立，只需
解得
错误分析 不等式
成立的充分必要条件是：
或 
原不等式的解法只考虑了一种情况
，而忽视了另一种情况
，所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。
正确解法 要使原不等式成立，则
或
，或
原不等式的解集为 
例6（轨迹问题）求与轴相切于右侧，并与
⊙
也相切的圆的圆心
的轨迹方程。
错误解法 如图3－2－1所示，
已知⊙C的方程为
设点
为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，
与⊙C相切于N点。根据已知条件得
，即
化简得
错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以
也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是
。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。
③防止以偏概全的错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
例7 设等比数列
的全
项和为
.若
，求数列的公比
.
错误解法 
错误分析 在错解中，由
时，应有
在等比数列中，
是显然的，但公比完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比
的情况，再在
的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若，则有
但，即得
与题设矛盾，故.
又依题意 
可得
即
因为，所以
所以
所以
说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
④避免直观代替论证
我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。
例8 （如图3－2－2），具有公共轴的两个直角坐标平面
和
所成的二面角
等于
.已知内的曲线
的方程是
，求曲线在内的射影的曲线方程。
错误解法 依题意，可知曲线是抛物线，
在内的焦点坐标是
因为二面角等于，
且
所以
设焦点
在内的射影是
，那么，
位于轴上，
从而
所以
所以点
是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。
所以曲线在内的射影的曲线方程是
错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为
。
正确解法 在内，设点
是曲线上任意一点
（如图3－2－3）过点
作
，垂足为
，
过作
轴，垂足为
连接
，
则
轴。所以
是二面角
的平面角，依题意，
.
在
又知
轴（或与
重合），
轴（或
与重合），设
，
则 
因为点在曲线上，所以
即所求射影的方程为 
(3) 推理的训练
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
例9 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率
，已知点
到这个椭圆上的最远距离是
，求这个椭圆的方程。
错误解法 依题意可设椭圆方程为
则 
，
所以 
，即 
设椭圆上的点
到点
的距离为
，
则 
所以当
时，
有最大值，从而也有最大值。
所以 
，由此解得：
于是所求椭圆的方程为
错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围。事实上，由于点在椭圆上，所以有
，因此在求的最大值时，应分类讨论。即：
若
，则当
时，（从而）有最大值。
于是
从而解得
所以必有
，此时当时，（从而）有最大值，
所以，解得
于是所求椭圆的方程为
例10 求
的最小值
错解1 
错解2 
错误分析 在解法1中，
的充要条件是
即
这是自相矛盾的。
在解法2中，
的充要条件是
这是不可能的。
正确解法1 
其中，当
正 确 解 法2 取正常数
，易得
其中“
”取“＝”的充要条件是
因此，当
