1．已知全集U={1,2,3, 4,5,6}，集合P={1,2,3,4}，Q={3,4,5,6}，则P

A．{1,2}                            B．{3,4}                            C．                       D．1

2．已知a=（cos40°，sin40°），b+（sin20°，cos20°），则a・b的值为

A．                      B．                         C．                       D．1

3．将函数y=sin2x的图象按向量a=（-）平移后的图象的函数解析式为

A．y=sin（2x+）     B． y=sin（2x-）    C． y=sin（2x+）    D． y=sin（2x-）

4．已知双曲线,双曲线上的点P到左焦点的距离与点P到左准线的距离之比等于

A．                         B．                         C．                      D．

5．（2x+）的展开式中的x系数是

A．6                           B．12                          C．24                          D．48

6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A．y=                      B．y=2                    C．y=lg              D．

7．将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层，第二层，第三层…，则第6层正方体的个数是

A．28                          B．21                          C．15                          D．11

8．设为两两不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：

①若∥，则；

②若∥，则∥；

③若

④若⊥，．

其中真命题的个数是

A．1                           B．2                            C．3                            D．4

9．若

      A．充分不必要条件                                        B．必要不充分

C．充要条件                                                  D．既不充分也不必要条件

10．如果一条直线与一个平面平行，那么，称此直线与平构成一个“平行线面线”．在一个平行六面体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面线”的个数是

A．60                          B．48                          C．36                          D．24

第Ⅱ卷（非选择题  共100分）

11．一个电视台在因特网上就观众对其某一节止的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为15000人，其中持各种态度的人数如下表所示：

很喜爱

喜爱

一般

不喜爱

3000

4500

5000

2500

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取选出150人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在“喜爱”这类态度的观众中抽取的人数为_____________

12．已知log,函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，则g（1）=____________

13．已知圆关于直线y=2x+b成轴对称，则b=_________．

14．函数的最小正周期是______________．

15．一个正四棱柱的顶点都在球面上，底面边长为1，高为2，则此球的表面积为________．

16．已知抛物线的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是___________．

17．（本小题满分12分，第一小问满分6分，第二小问满分6分）

已知数列（）是等差数列，（）是等比数列，且a₁=b₁=2,b₄=54,a₁+a₃=b₂+b₃．

（1）求数列{}的通项公式

（2）求数列{}的前10项和S．

18．（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分）

一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的4个黑球和3个红球，某人一次从中摸出2个球。

（1）如果摸到球中含有红球就中奖， 那么此人中奖的概率是多少？

（2）如果摸到的两个球都时红球，那么就中大奖，在有放回的3次摸球中，此人恰好两次中大奖的概率是多少？

19．（本小题满分16分，第一小问满分5分，第二小问满分5分，第三小问满分6分）

在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．

（1）求证：PA⊥平面ABCDE；

（2）求二面角A-PD-E的大小；

（3）求点C到平面PDE的距离．

20．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）

在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P（3，），且与x轴交于点F（2,0）．

（1）求直线l的方程；

（2）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；

（3）若在（Ⅰ）（Ⅱ）的情况下，设直线l与椭圆的另一个交点Q，且,当｜｜最小时，求对应值．

21．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）

已知．

（1）若

（2）当b为非零实数时，证明（-c）平行的切线；

（3）记函数||（-1≤x≤1）的最大值为M，求证：M≥．

南京市2007届高三质量检测数学答案及评分标准

说明：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

A

D

C

C

B

C

D

B

11．45　　12．0　　13．4　　14．π　　15．6π　　16．2

17．（1）∵{b_n}是等比数列，且b₁=2,b₄=54,

       　∴q³==27．                                                                        3分

       　∴q=3． ∴b_n=b₁・q^n-1=2・3^n-1．                                                  6分

（2）∵数列{a_n}是等差数列，a₁+a₂+a₃=b₂+b₃,

       　　又b₂+b₃=6+18=24,∴a₁+a₂+a₃=3a₂=24,∴a₂=8．

              从而d=a₂-a₁=8-2=6．                                                          9分

              ∴a₁₀=a₁+（10-1）d=2+9×6=56．

              ∴S₁₀==290                     　12分

18．（1）记“从袋中摸出的两个球中含有红球”为事件A，                 1分

       　则P（B）==．                                                       5分

       　（或“不含红球即摸出的两个球都是黑球”为事件）．

       　∵P（）=．∴P（A）=-1-P（）=．                             5分

       　答：此人中奖的概率是．                                                    6分

（2）记从“袋中摸出的两个球都是红球”为事件B，                           7分

则P（B）＝＝．                                                          10分

由于有放回的3次摸，每次是否摸到两个红球之间没有影响．

所以3次摸球恰好有两次中大奖相当于作3次独立重复试验，

根据n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式得，

P₃（2）＝C²₃（）²・（1-）^3-2=．                                     13分

答：此人恰好两倍欠中大奖的概率是．                                  14分

19．（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2a,

∴PA²+AB²=PB²，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．

同理PA⊥AE．                                                                                   3分

∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．                                           5分

   （2）解法一：∵∠AED＝90°，

∴AE⊥ED．

∵PA⊥平面ABCDE，

∴PA⊥ED．

∴ED⊥平面PAE．

过A作AG⊥PE于G，

过DE⊥AG，

∴AG⊥平面PDE．

过G作GH⊥PD于H，连AH，

由三垂线定理得AH⊥PD．

∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．                                               8分

在直角△PAE中，AG＝a．

在直角△PAD中，AH＝a，

∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴∠AHG＝arcsin．

∴二面角A-PD-E的大小为arcsin．                                    10分

解法二：建立如图所示的直角坐标系,

则B（2a,0,0）,E（0,2a,0）,P（0,0,2a）,D（a,2a,0）,C（2a,a,0）,

过A作AN⊥PD于N，

∵＝（a,2a,-2a）,

设=λ,

∴=+=（λa,2λa,2a-2λa）

∵AN⊥PD，

∴・=0．

∴a・λa+2a・2λa-2a・（2a-2λa）=0．

解得λ=．

∴=（a，a, a）

即=（-a, -a, -a）

同理，过E作EM⊥PD于M，

则=（-a, a, -a）．                                                                  8分

二面角A-PD-E的大小为，所成的角<，>．

∵cos<,>=arccos=．

∴<,>=arccos=．

∴二面角A-PD-E的大小为arccos．                                            10分

（3）解法一：∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,

   BC=DE=a,AB=AE=2a,

   取AE中点F，连CF，

   ∵AF∥=BC,

   ∴四边形ABCF为平行四边形．

   ∴CF∥AB，而AB∥DE，

   ∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，

   ∴CF∥平面PDE．

   ∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．

   ∵PA⊥平面ABCDE，

   ∴PA⊥DE．

   又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．

   ∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．

   ∴FG的长即F点到平面PDE的距离．                                                      13分

     在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，

   ∴FG=a． ∴点C到平面PDE的距离为a．                                  16分

   解法二：∵PA平面ABCDE，∴PA⊥DE，

   又∵∠DEA=90°，∴DE⊥平面PAE，∴DE⊥PE．

   ∵BC=DE=a，AB=AE=2a，

   连接CE，

则S_△CDE=a²，S_△DEP=a² ．

 ∵V_P-CDE=・PA・S_△CDE=・2a・a²＝a²．                                                  13分

  设点C到平面PDE的距离为h，

则V _C-PDE＝・h・S_△PDE=・h・a²＝a²h．

   ∵V_P-CDE=V_C-PDE,

   即a³＝a²h，

   解得h＝a．即点C到平面PDE的距离为a．                                16分

解法三：建立如图所示的直角坐标系,

则B（2a,0,0）,E（0,2a,0）,P（0,0,2a）,

D（a,2a,0）,C（2a,a,0）,

设平面PDE的一个法向量为n=（x,y,1）,

∵＝（0,2a,-2a）,=（-a,0,0）,

又∵n⊥平面PDE．

∴n⊥，n⊥．

∴

即

解得

∴n=（0,1,1）．                                                                                       13分

∵=（-a,a,0）,

∴cos<,n>=

∵0≤<，n>≤π，

∴<，n>=．

∵过C作CH⊥平面PDE于H，则CH=||・|cos<，n>|，

即点C到平面PDE的距离为

||・|cos<,n>|=a．                                                                     16分

20．（1）∵P（3，），F（2,0），

∴根据两点式得，所求直线l的方程为=

即y=（x-2）．

∴直线l的方程是y=（x-2）．                                                                      4分

   （2）解法一：设所求椭圆的标准方程为=1（a>b>b）,

∵一个焦点为F（2,0），

∴c=2．

即a²-b²=4     ①                                                                                        5分

∵点P（3，）在椭圆=1（a>b>0）上，

∴=1  ②                                                                                       7分

由①，②解得a²=12,b²=8．

所以所求椭圆的标准方程为=1．                                                    9分

解法二：设所求椭圆的标准方程为=1（a>b>0）,

∵c=2,a²-b²=4．                                                                                                  6分

∴椭圆的另一个焦点为F₁（-2,0）．

由椭圆过点P（3，），

∴2a=|PF₁|+|PF₂|=+=4．

∴a²=12,b²=8．

所以所求椭圆的标准方程为=1．                                                    9分

   （3）解法一：由题意得方程组

解得或

∴Q（0，2）．                                                                                      11分

=（-3,-3）．

∵=λ=（-3λ，3λ），

∴=+=（3-3λ，,3λ）．

∴||=

       ==，

∴当λ=时，||最小．                                                                         14分

解法二：由题意得方程组解得或

∴Q（0，-2）．

∵=λ=（-3λ，3λ），

∴点M在直线PQ上，∴||最小时，必有OM⊥PQ．

∴k_OM=-=-．

∴直线OM的方程为y=-x．

直线OM与PQ的交点为方程组的解，解之得

∴M（，-），∴=（-，-）

∵=λ，即（-，-）=λ（-3，-3），∴λ=．

∴当λ=时，||最小．                                                                         14分

21．（1）∵f′（x）=3x²+2bx+c,

由f（x）在x=1时，有极值-1得                                                2分

即解得                                                            3分

当b=1，c=-5时，f′（x）=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1）,

当x>1时，f′（x）>0，当-<x<1时，f′（x）<0．

从而符合在x=1时，f（x）有极值．∴                                           4分

   （2）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b²-c）x+y+1=0平行,

∵f′（t）=3t²+2bt+c,

直线（b²-c）x+y+1=0的斜率为c-b²,

∴3t²+2bt+c=c-b²,

即3t²+2bt+b²=0．

∵△=4（b²-3b²）=-8b²,

又∵b≠0，△<0．

从而方程3t²+2bt+b²=0无解,

因此不存在t，使f′（t）=c-b²,

即f（x）的图象不存在与直线（b²-c）x+y+1=0平行的切线．                       9分

   （3）证法一：∵|f′（x）|=|3（x+）²+c-|,

①若|-|>1，则M应是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一个，

∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12,

∴M>6，

从而M≥．                                                                                               11分

②当-3≤b≤0时，2M≥|f′（-1）|+|f′（-）|=|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=|（b-3）²|>3,

∴M≥．

③当0<b≤3时，2M≥|f′（1）|+|f′（-）|=|3+2b+c|+|c-|≥|+2b+3|=|（b+3）²|>3,

∴M≥．                                                                                                  

综上所述，M≥．                                                                                     14分

证法二：f′（x）=3x²+2bx+c的顶点坐标是（-，），

①若|-|>1，则M应是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一个，

∴2M≥| f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12②

∴M>6，

从而M≥．                                                                                               11分

②若|-|≤1，则M|f′（-1）|、|f′（1）|、||中最大的一个．

（i）当c≤-时，2M≥|f′（1）|+ |f′（-1）|≥|f′（1）+ f′（-1）|=|6+2x|≥3,

  M≥．

（ii）当c<-时，M≥||=-c≥-c>，

综上所述，M≥成立．                                                                           14分

证法三：∵M是|f′（x）|,x∈[-1,1]的最大值，

∴M≥|f′（0）|,M≥|f′（1）|，M≥|f′（-1）|．                                            11分

∴4M≥2|f′（0）|+|f′（1）|+|f′（-1）|≥|f′（1）+f′（-1）-2f′（0）|=6,

即M≥．                                                                                                 14分