Question

(12分)⑴开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量，将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式；(已知引力常量为G，太阳的质量为。)
⑵开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立，经测定月地距离为3.84×10⁸m，月球绕地球运动的周期为2.36×10⁶s，试计算地球的质量。(引力常量为G＝6.67×10^－11N·m²/kg²，结果保留一位有效数字。)

Answer 1

⑴k＝；⑵＝6×10²⁴kg

解析试题分析：⑴设行星的质量为m，因行星绕太阳做圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：＝
解得：＝，即k＝
⑵在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为r′，周期为T′，由⑴中分析可知：＝
解得：＝＝6×10²⁴kg
考点：本题主要考查了对开普勒行星运动定律和万有引力定律的理解与应用问题，属于中档偏低题。