Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），且直线的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】试题分析：

（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于的方程组，解得后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线的斜率，再根据题意可得，根据此式可求得，为定值．

试题解析：

（1）由题意可得，解得．

故椭圆的方程为．

（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，

由，消去整理得，

∵直线与椭圆交于两点，

∴．

设点的坐标分别为，

则，

∴．

∵直线的斜率成等比数列，

∴，

整理得，

∴，

又，所以，

结合图象可知，故直线的斜率为定值．