Question

【题目】如图，某市园林局准备绿化一块直径为的半圆空地，以外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若为定值），，设的面积为，正方形的面积为

(1)用表示；

(2)当为何值时，取得最大值，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 的最大值为，此时.

【解析】试题分析：（1）在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=α，由AB=acosα，AC=asinα，能求出S1；设正方形PQRS的边长为x，则BP=，AP=xcosα，由BP+AP= ，AB=acosα，AP+BP=AB，能求出S2．

（2）=，令sin2α=t，推导出=，0＜t≤1，设f（t）=（0＜t≤1），推导出f（t）=在（0，1]上单调递减，由此能求出的最大值及相应的α．

试题解析：

（1）在中，，

所以

设正方形的边长为，则

由 又

所以

令，由得，所以

设，任取，

则

在上单调减，所以，

所以

所以的最大值为，此时