Question

【题目】设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记f（x）的最大值为A．
（1）求f′（x）；
（2）求A；
（3）证明：|f′（x）|≤2A．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx

（2）

当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．

当0＜a＜1时，f（x）等价为f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，

令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，

则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，

且当t= 时，g（t）取得极小值，极小值为g（ ）=﹣ ﹣1=﹣ ，

令﹣1＜ ＜1，得a＜ （舍）或a＞ ．因此A=3a﹣2

g（﹣1）=a，g（1）=3a+2，a＜3a+2，∴t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2．

综上可得：t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2．

∴A=3a+2．

①当0＜a≤ 时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，

∴A=2﹣3a，

②当 ＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（ ），

又|g（ ）﹣g（﹣1）|= ＞0，

∴A=|g（ ）|= ，

综上，A= ．

（3）

证明：由（1）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，

当0＜a≤ 时，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，

当 ＜a＜1时，A= = + + ≥1，

∴|f′（x）|≤1+a≤2A，

当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，

综上：|f′（x）|≤2A．

【解析】（1）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；
（2）讨论a的取值，利用分类讨论的数学，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；
（3）由（1），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．
本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系，以及换元法，转化法转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．