Question

【题目】正数数列{an}的前n项和为Sn ， 已知对于任意的n∈Z+ ， 均有Sn与1正的等比中项等于an与1的等差中项．
（1）试求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得： ，故 …①，又 …②，

②﹣①得： ，整理得：（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0．

由已知an＞0，∴an+1+an＞0，故an+1﹣an﹣2=0，

即an+1﹣an=2，所以数列{an}为公差d=2的等差数列．

又由 可得：a1=1，∴an=1+（n﹣1）2=2n﹣1

（2）解：由题意可得 ，

∴Tn=b1+b2+…+bn= [1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = [1﹣ ]＜

【解析】（1）由条件等差中项、等比中项的定义，求得：an+1﹣an=2，可得数列{an}为公差d=2的等差数列，再结合a1=1，求得{an}的通项公式．（2）先化简数列{bn}的通项公式，再利用裂项法求得它的前n项和，可得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．