Question

【题目】已知函数，．

（1）若，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若，试讨论方程的实数解的个数；

（3）当时，若对于任意的，都存在，使得，求满足条件的正整数的取值的集合．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）去绝对值号后求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）对的取值进行分类讨论，去绝对值号后即可求解；（3）分析题意可知问题等价于函数的值域是的子集，从而即可建立关于的不等式，即可求解．

试题解析：（1）当，时，，从而，而，，∴函数，的图象在处的切线方程为：，即；（2）即为，∴，从而，此方程等价于或或，

∴当时，方程有两个不同的解，；

当时，方程有三个不同的解，，；

当时，方程）有两个不同的解，；

（3）当，时，，，

∴函数在是增函数，且，

∴当时，，，

当时，，

∵对任意的，都存在，使得，

∴，从而，

∴，即，即，

∵，显然满足，而时，均不满足，

∴满足条件的正整数的取值的集合为．