Question

【题目】已知函数是定义在上的偶函数，当时， .

（1）直接写出函数的增区间（不需要证明）；

（2）求出函数， 的解析式；

（3）若函数， ，求函数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）增区间为；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据奇偶性，结合函数简图可得函数的增区间；（2）因为， ，所以根据函数是定义在上的偶函数， , 且当时, , 时函数的解析式，综合可得函数的解析式；（3）根据（1）可得函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，对进行分类讨论，进而可得函数的最小值的表达式.

试题解析：（1）的增区间为 .

（2）设，则，，

由已知，当时，，故函数的解析式为：.

（3）由（2）可得：，对称轴为：，

当时，，此时函数在区间上单调递增，故的最小值为，

当时，，此时函数在对称轴处取得最小值，故的最小值为，

当时，，此时函数在区间上单调递减，故的最小值为.

综上：所求最小值为 .