Question

【题目】如图，在四棱锥中， 平面，四边形是菱形， ， ，且， 交于点， 是上任意一点.

（1）求证： ；

（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）线线垂直问题转化为线面问题即可解决，即 ，由平面，得，又分析可知，且，所以（2）解法1：（空间向量在立体几何中的应用）设与平面所成的角为，即与平面所成角为与平面的法向量所成角，如图所示的空间直角坐标系，

设则， ，

平面的一个法向量为（1,0,0），，得到

再由二面角的余弦值为， ，解得，

故， ，最后求得；

解法2：通过构造法作出二面角的平面角,

设DP=t， 作出二面角的平面角,

由，求出点到平面的距离

试题解析：（1）因为平面，所以， 1分

因为四边形为菱形，所以2分

又

因为5分

（2）解法1:

连接在中，

所以分别以所在直线为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设则， ． 6分

由（1）知，平面的一个法向量为（1,0,0）， 设平面的一个法向量为，则得，令，得8分

因为二面角的余弦值为，所以，

解得或（舍去），所以10分

设与平面所成的角为．因为， ，

∴

所以与平面所成角的正弦值为． 12分

解法2:

设DP=t， 作出二面角的平面角

由，求出点到平面的距离

．