Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．
（1）求实数a；
（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；
（3）对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知a2﹣a+1=2，∴a=2
（2）解：∵f（x）=2x﹣2+1，

∴g（x）=2x，

∴h（x）=log2x（x＞0）

（3）解：要使不等式有意义：则有1＜x≤4且1＜x2≤4，

∴1＜x≤2，

据题有 在（1，2]恒成立，

∴设t=log2x（1＜x≤2），

∴0＜t≤1，

∴（t+2）2≤2t+tm+6在（0，1]时恒成立．

即： 在[0，1]时恒成立，

设 ，t∈（0，1]单调递增，

∴t=1时，有ymax=1，

∴m≥1

【解析】（1）令x=a，则f（a）=2，从而可知f（x）过定点（a，2），再由题设即可求得a值；（2）根据图象平移规则：左加右减，上加下减即可求得g（x）表达式，从而可得h（x）的解析式；（3）令t=log3x，则t∈[0，2]，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+m+6 恒成立，可转化为关于t的二次不等式恒成立，进而转化为求函数的最值解决，利用二次函数的性质易求其最值；