Question

【题目】正方体的棱长为，是与的交点，为的中点．

（I）求证：直线平面．

（II）求证：平面．

（III）二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析:（1）先根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）由侧棱垂直底面得，由正方形性质得，因此可由线面垂直判定定理得平面，同理可得，从而有面．（3）利于空间向量求二面角：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，通过解方程组得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据法向量夹角与二面角关系确定所求值

（I）连接，在中，

∵为的中点，为的中点，

∴，

又∵面，

∴直线平面．

（II）在正方体中，

∵平面，平面，

∴，

∵，且，

∴，

∴，

同理，

∵，

∴面．

（III）以为原点，建立空间坐标系，

则，，

，．

易知面的一法向量为，

设面的一法向量为中，

∵，

，

，，

，，

∴，

设二面角为，

则

，

故二面角的余弦值为．