Question

【题目】设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．

Answer 1

【答案】.

【解析】试题分析: 二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)可知, 图象关于直线x＝2对称, 设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，图象过点(0,3),可得k＝3－4a，再用f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，写出韦达定理代入求出a值,进而得出f(x)的解析式．

试题解析:

∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称．于是，设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)， 则由f(0)＝3，可得k＝3－4a，∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.∵ax2－4ax＋3＝0的两实数根的平方和为10，∴10＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，∴a＝1，∴.