Question

【题目】如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BAC=30°）及其体积．

Answer 1

【答案】解：如图所示，过C作CO1⊥AB于O1 ， 在半圆中可得∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=2R， ∴AC= R，BC=R，CO1= R，
∴S球=4πR2 ，
=π× R× R= πR2 ，
=π× R×R= πR2 ，
∴S几何体表=S球+ + = πR2 ，
∴旋转所得到的几何体的表面积为 πR2 ．
又V球= πR3 ， = AO1πCO12= πR2AO1
= BO1πCO12= BO1πR2
∴V几何体=V球﹣（ + ）= πR3 ．

【解析】求出AC= R，BC=R，CO1= R，再求出几何体的表面积；要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计算．
【考点精析】通过灵活运用旋转体（圆柱、圆锥、圆台），掌握常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球即可以解答此题．