Question

【题目】已知数列{an}满a1=a，a2=b，3an+2﹣5an+1+2an=0（n≥0，n∈N），求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】解：∵3an+2﹣5an+1+2an=0， ∴an+2﹣an+1= （an+1﹣an），
且a2﹣a1=b﹣a．
∴{an+1﹣an}是以b﹣a为首项，以 为公比的等比数列，
∴an+1﹣an=（b﹣a）（ ）n﹣1 ，
∴an﹣an﹣1=（b﹣a）（ ）n﹣2 ，
an﹣1﹣an﹣2=（b﹣a）（ ）n﹣3 ，
…
a3﹣a2=（b﹣a） ，
a2﹣a1=b﹣a，
以上各式相加得：
an﹣a1=（b﹣a）[1+ +（ ）2+…+（ ）n﹣2]= （b﹣a）=3[1﹣（ ）n﹣1]（b﹣a）．
∴an=3[1﹣（ ）n﹣1]（b﹣a）+a=3b﹣2a+3（ ）n﹣1（a﹣b）
【解析】将条件式移项可得an+2﹣an+1= （an+1﹣an），故而{an+1﹣an}是等比数列，从而得出an﹣an﹣1=（b﹣a）（ ）n﹣2 ， 使用累加法求出通项公式．
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．