Question

【题目】已知向量 =（2cos2x， ）， =（1，sin2x），函数f（x）= ﹣1．
（1）当x= 时，求|a﹣b|的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（3）求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在[﹣ ， ]内的所有实数根之和．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由向量 =（2cos2x， ）， =（1，sin2x），

则：a﹣b=（2cos2x﹣1， sin2x）

当x= 时，a﹣b=（2cos2 ﹣1， sin2× ）

=（0， ）

那么：|a﹣b|=

（2）

解：f（x）=ab﹣1=1×2cos2x+ sin2x

=

=1+cos2x+ sin2x﹣1

=2sin（2x+ ）

∴最小正周期T=

由sinx的图象和性质，可知x ，（k∈Z）是增区间．

∴2x+ 是增区间，即： ，（k∈Z）

解得： ，（k∈Z）

所以，f（x）的单调增区间为： ，（k∈Z）

（3）

解：由方程f（x）=k，（0＜k＜2），得 ．

∵ 的周期T=π，又 ，

∴ 在 内有2个周期．

∵ ，∴方程 在 内有4个交点，即有4个实根．

根据图象的对称性，有 ， ，

∴所有实数根之和=x1+x2+x3+x4+x5+x6= ．

【解析】（1）根据平面向量加减的运算法则求出a﹣b，化简，将x= 带入，求模长．（2）根据平面向量乘积的运算法则求出f（x），将其化简，结合三角函数的图象和性质即可得到答案．（3）利用三角函数的图象和性质，在[﹣ ， ]内求出方程f（x）=k时，x的值，即可解决问题．