Question

【题目】已知椭圆（），的两个焦点， ，点在此椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证： 为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】试题分析：（1）依题意， ，利用点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得 ，从而可得椭圆的方程；
（2）①当直线的斜率不存在时，求出的坐标，进而可得直线的斜率，即可求得结论；②当直线的斜率存在时，直线的方程为： ，代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论．

试题解析：(1)根据焦点坐标得： ，而点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，根据椭圆的对称性故有；所以,

故椭圆的方程为．

（2）①当直线的斜率不存在时，由，解得，不妨设， ，则为定值。

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，将代入整理化简得： 。

设，则，

又，所以

，

综上为常数2.