Question

【题目】已知函数（），其中为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性及极值；

（2）若不等式在内恒成立，求证： .

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得导函数的解析式，分类讨论可得：当时， 在内单调递增，没有极值；当时， 在区间内单调递减，在区间内单调递增， 的极小值为，无极大值.

（2）分类讨论：当时， 明显成立；

当时，由（1），知在内单调递增，此时利用反证法可证得结论；

当时，构造新函数，结合函数的单调性即可证得题中的结论.

试题解析：

（1）由题意得.

当，即时， ， 在内单调递增，没有极值.

当，即时，

令，得，

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增，

故当时， 取得极小值 ，无极大值.

综上所述，当时， 在内单调递增，没有极值；

当时， 在区间内单调递减，在区间内单调递增， 的极小值为，无极大值.

（2）当时， 成立.

当时，由（1），知在内单调递增，

令为和中较小的数，

所以，且，

则， .

所以 ，

与恒成立矛盾，应舍去.

当时， ，

即，

所以.

令，

则.

令，得，

令，得，

故在区间内单调递增，

在区间内单调递减.

故，

即当时， .

所以 .

所以.

而，

所以.