Question

【题目】已知，函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，求证：

Answer 1

【答案】（1）在 是增函数， 是减函数；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）先求导，再分类讨论，分别令 可得增区间，令可得得减区间；(2)讨论两种情况，分别利用导数判断函数的单调性，以及结合函数的极值及简图即可求出的范围；（3）由，只要证明： 就可以得出结论，构造函数： ，利用导数研究函数的单调性即可证明.

试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．

①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；

②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．

∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．

（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，

当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时f（）为函数f（x）的最大值，

当f（）≤0时，f（x）最多有一个零点，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，

此时，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，

f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），

令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，

∴a的取值范围是（0，1）．

（3）由（2）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．

下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，

函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，

于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，

由（1）可知，即．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点、证明不等式，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，在定义域内解不等式得的范围就是递增区间；令，在定义域内解不等式得的范围就是递减区间.