Question

【题目】如图，在四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，∠ABC=3∠BAC=90°，BF⊥AC于F，AC=4CD=4，AE=3．

（1）求证：BE⊥DF；
（2）求二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）方法一（几何法）：

证明：∵AE⊥平面ABC，BF平面ABC，∴AE⊥BF，

∵BF⊥AC，AE∩AC=A，

∴BF⊥平面AEC，DF平面AEC，∴BF⊥DF，

∵∠ABC=3∠BAC=90°，又AC=4CD=4，

∴∠BAC=30°．CD=1．

∴ ，

又BF⊥AC．∴ ，

又CD∥AE，AE⊥平面ABC，∴CD⊥平面ABC．

又AC平面ABC．∴CD⊥AC，∴∠DFC=45°．

又AF=AC﹣CF=3=AE，∴∠EFA=45°，

∴∠EFD=90°，即DF⊥EF．

又BF∩EF=F，BF．EF平面BEF．

∴DF⊥平面BEF，BE平面BEF．

∴DF⊥BE．

方法二（向量法）：

证明：（Ⅰ）过F作Fz∥AE，由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC，

又AC．BF平面ABC，于是Fz⊥AC，Fz⊥BF，

又BF⊥AC，∴BF．AC．Fz两两垂直．

以F为原点，FA．FB．Fz依次为x．y．z轴建立空间直角坐标系（如图）．

∵∠ABC=3∠BAC=90°，AC=4CD=4，AE=3，

∴CD=1，∠BAC=30°．

∴ ， ，AF=AC﹣FC=3， ．…（3分）

于是F（0，0，0）， ，D（﹣1，0，1），E（3，0，3）， ， ．

故 ．

所以DF⊥BE

（2）方法一（几何法）：

解：如图，过点F作FG⊥DE于点G，连接BG．

由（1）知BF⊥平面AEC，又DE平面AEC，∴BF⊥DE．

又BF∩FG=F，BF．FG平面BFG，∴DE⊥平面BFG．

又BG平面BFG，∴BG⊥FG．（三垂线定理）

故∠BGF二面角B﹣DE﹣F的平面角．

在Rt△EAF中， ．

在Rt△FCD中， ．

在Rt△EFD中， ．

由EFFD=FGED得 ．

在Rt△BFC中， ．

在Rt△BFG中， ．

∴ ．

∴二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值为 ．

方法二（向量法）：

解：（2）由（1）知 ， ， ， ．

于是 ，所以FB⊥FE，又FB⊥AC．

所以 是平面DEF的一个法向量．

设 是平面BDE的一个法向量，则

取z=2，得到 ．

∴ ．

又二面角B﹣DE﹣F是锐二面角．

∴二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值为 ．

【解析】方法一（几何法）：（1）推导出AE⊥BF，BF⊥AC，从而BF⊥DF，再求出CD⊥平面ABC，从而CD⊥AC，进而DF⊥EF，由此能证明DF⊥平面BEF，从而得到DF⊥BE．（2）过点F作FG⊥DE于点G，连接BG，则∠BGF二面角B﹣DE﹣F的平面角，由此能求出二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值．
方法二（向量法）：（1）过F作Fz∥AE，以F为原点，FA．FB．Fz依次为x．y．z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DF⊥BE．（2）求出平面DEF的一个法向量和平面BDE的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．