Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）令cn＝，Tn是数列{cn}的前n项和，求证:

Answer 1

【答案】（1）bn＝3n＋1；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项 和公比 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出 的表达式后，用错位相减法求其前 项和，然后求其最小值即可得结论.

试题解析：(1) 由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5；当n＝1时，a1＝S1＝11，也符合上式，所以an＝6n＋5.

设数列{bn}的公差为d.由即解得

所以bn＝3n＋1.

(2) 由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，

得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，

2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，

两式作差，得

－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]

＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2]＝－3n·2n＋2，

所以Tn＝3n·2n＋2.

【 方法点睛】本题主要考查等差数列的通项以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.