Question

【题目】某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2≤m≤3)，设每个水杯的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．

(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式；

(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e5(5－m)元.

【解析】试题分析：（1）先确定反比例系数，再根据利润等于收入减去成本列函数关系式（2）利用导数求函数最值：先求导数，再根据范围确定导函数符号，确定函数单调性，最后根据单调性求函数最值

试题解析：解：(1)设日销售量为s，则s＝，

因为x＝40时，s＝10，

故10＝，则k＝10e40，

所以s＝，

故y＝ (x－30－m)(35≤x≤41)．

(2)由(1)知y′＝10e40·＝10e40·.

令y′＝10e40·＝0，则x＝31＋m.

当2≤m≤3时，y′<0，所以y在35≤x≤41上为减函数，

所以x＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e5(5－m)元．