Question

【题目】如图所示，是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰米，.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸，上分别取点，（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道（宽度不计），使得三角形和四边形的周长相等.

（1）若水上观光通道的端点为线段的三等分点（靠近点），求此时水上观光通道的长度；

（2）当为多长时，观光通道的长度最短？并求出其最短长度.

Answer 1

【答案】(1) 水上观光通道的长度为米;(2) 当米时，水上观光通道的长度取得最小值，最小值为米.

【解析】分析：（1）在等腰中，过点作于，先计算出，，再利用余弦定理求出EF的长度.(2) 设，，先求出EF的表达式，再利用基本不等式求其最短长度.

详解：（1）在等腰中，过点作于，

在中，由，即，∴，，

∴三角形和四边形的周长相等.

∴，即，

∴.

∵为线段的三等分点（靠近点），∴，，

在中，，

∴米.

即水上观光通道的长度为米.

（2）由（1）知，，设，，在中，由余弦定理，得

.

∵，∴.

∴，当且仅当取得等号，

所以，当米时，水上观光通道的长度取得最小值，最小值为米.