Question

【题目】所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2 ，则正三棱锥S﹣ABC的体积为 ， 其外接球的表面积为 ．

Answer 1

【答案】；12π
【解析】解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，
∵SO⊥平面ABC，AC平面ABC，
∴AC⊥SO，又BO⊥AC，
∴AC⊥平面SBO，∵SB平面SBO，
∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM平面SAC，AC平面SAC，AM∩AC=A，
∴SB⊥平面SAC，
同理可证SC⊥平面SAB．
∴SA，SB，SC两两垂直．
∵△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴SA=SB=SC，
∵AB=2 ，∴SA=SB=SC=2．
∴三棱锥的体积V= = ．
设外接球球心为N，则N在SO上．
∵BO= = ．∴SO= = ，
设外接球半径为r，则NO=SO﹣r= ﹣r，NB=r，
∵OB2+ON2=NB2 ， ∴ +（ ）2=r2 ， 解得r= ．
∴外接球的表面积S=4π×3=12π．
所以答案是： ，12π．