Question

【题目】如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°．现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏．

（1）若∠APQ=15°，AP与AQ两处围墙长度和为100（ +1）米，求栅栏PQ的长；
（2）已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500 平方米，问AP，AQ长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵依题意，∠AQP=45°，由正弦定理： ，

∴得 ，

∵ ，

∴

（2）解：设AP=x米，AQ=y米．

则 xy=10000，

，

设△ABC的周长为L，则L= = ，

令x+y=t，L= 在定义域上单调增，

所以 ，当x=y=100取等号；

所以当AP=AQ=100米时，三角形地块APQ的周长最小

【解析】（1）依题意，∠AQP=45°，由正弦定理： ，可得 利用特殊角的三角函数值即可计算得解PQ的值．（2）设AP=x米，AQ=y米，利用三角形面积公式可求xy=10000，进而可求 ，设△ABC的周长为L，则L= = ，令x+y=t，L= 在定义域上单调增，利用二次函数的图象和性质即可得解．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此题．