Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn= + ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=an+2﹣an+ ，且数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜2n+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n≥2时，

an=Sn﹣Sn﹣1

= + ﹣ ﹣

=n+1，

又n=1时，

a1=S1=2适合an=n+1，

∴an=n+1

（2）证明：由（1）知：

bn=n+3﹣（n+1）+

=2+ ×（ ﹣ ），

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn

=2n+ ×（ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

=2n+ ×（ + ﹣ ﹣ ）

＜2n+ ：

【解析】（1）根据数列的通项an和Sn的关系，即可求解数列{an}的通项公式；（2）由bn=2+ （ ﹣ ），即可利用裂项相消求解数列的和，得以证明．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．