Question

【题目】已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值，及y取最大值时x的值．

Answer 1

【答案】当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.

【解析】试题分析：先求f(x)值域得函数定义域，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系得最大值

试题解析：∵f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)

＝(2＋log3x)2＋(2＋log3x2)

＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.

∵函数f(x)的定义域为[1,9]，

∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须满足∴1≤x≤3.

令u＝log3x，则0≤u≤1.

又∵函数y＝(u＋3)2－3在[－3，＋∞)上是增函数，

∴当u＝1，即x＝3时，函数y＝(u＋3)2－3取得最大值13.

故当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.