Question

【题目】已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为，，的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1) 根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，过DE构造平行四边形，使其与平面ABC相交，则可得DE与交线平行，所以进一步可得DE∥平面ABC；

(2) 以点A为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出直线的方向向量，平面的法向量，代入公式，即可得到结果.

（1）设AB的中点为G，连接DG，CG，则，

四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，又DEABC，GCABC∴DE∥平面ABC．

（2）以点A为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，

设，则,,，设平面的法向量，

则，令，则.

设与平面所成的角为，

所以