Question

【题目】（12分）

在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

Answer 1

【答案】（1）不会；（2）详见解析

【解析】（1）设，则是方程的根，

所以，

则，

所以不会能否出现AC⊥BC的情况。

（2）解法1：过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上，设圆心，则，由得，化简得，所以圆E的方程为，

令得，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，所以

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值

解法2：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，

由可知原点O在圆内，由相交弦定理可得，

又，所以，

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为，为定值.