Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， 且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB= ，AB=2，PA=1

（1）求证：AB∥平面PCD；
（2）求证：BC⊥平面PAC；
（3）若M是PC的中点，求三棱锥C﹣MAD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）∵底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°，

∴AB∥CD，

又AB平面PCD，CD平面PCD，

∴AB∥平面PCD

（2）∵∠ABC=45°，CB= ，AB=2，

∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos45°= =2．

则AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC．

∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PA⊥BC．

又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

（3）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，

则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC，AD=EC．

在Rt△CEB中，可得BE=BCcos45°= ，

CE=BCsin45°= ，∴AE=AB﹣BE=2﹣1=1

∴S△ADC= = = ．，

∵M是PC的中点，∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半，

∴VC﹣MAD=VM﹣ACD= ×S△ACD×（ PA）= × × = ．

【解析】（1）利用线面平行的判定定理证明；（2）利用勾股定理证明BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC．从而可证得BC⊥平面PAC：（3）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，AE=DC，AD=EC．求得CE，计算△ACD的面积，根据M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半，求得棱锥的高，代入体积公式计算．