Question

【题目】根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响．
（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；
（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；
方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；
方案三：不采取措施；
试比较哪种方案较好，并请说理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为：

P= + = ，

所以在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为

（2）解：由题意知，P（23≤X＜27）=0.74，

P（27≤X＜31）=0.25，

P（31≤X≤35）=0.01；

用X1、X2、X3分别表示采取方案一、二、三的损失，

由题意知，X1=3800，X2的分布列如下；

X2	2000	62000
P	0.99	0.01

所以E（X2）=2000×0.99+62000×0.01=2600；

X3的分布列如下，

X3	0	10000	60000
P	0.74	0.25	0.01

E（X3）=60000×0.01+10000×0.25=3100；

因为采用方案二的损失最小，所以采用方案二最好

【解析】（1）由二项分布求出未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率值；（2）由随机变量的分布列与均值，计算方案一、二、三的损失是多少，比较选用哪种方案最好．
【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图的相关知识点，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息才能正确解答此题．