Question

【题目】已知函数， .

（1）当时，求函数的值域；

（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得函数的最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)[0,2]；(2)(－∞，)；(3)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）由h(x)＝－2(log3x－1)2＋2，根据log3x∈[0,2]，即可得值域；

（2）由，令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，得(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，利用二次函数求函数的最小值即可；

（3）由，假设最大值为0，因为,则有，求解即可.

试题解析：

（1）h(x)＝(4－2log3x)·log3x＝－2(log3x－1)2＋2，

因为x∈[1,9]，所以log3x∈[0,2]，

故函数h(x)的值域为[0,2]．

（2）由，

得(3－4log3x)(3－log3x)>k，

令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，

所以(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，

令，其对称轴为，

所以当时， 的最小值为，

综上，实数k的取值范围为(－∞，)．.

（3）假设存在实数，使得函数的最大值为0，

由.

因为,则有，解得，所以不存在实数，

使得函数的最大值为0.