Question

【题目】【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考数学（文）】已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的极值点的个数；

（Ⅱ）若有两个极值点，证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）时，仅有一个极值点；（ⅱ） 当时，无极值点；

（ⅲ）当时，有两个极值点．（Ⅱ）详见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导数，再确定导函数零点情况，这需分类讨论：一次与二次的讨论，二次中有根与无根的讨论，两根情况分相等、一正一负、两不等正根，最后根据对应情况确定导函数符号变化规律，确定对应极值点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）先确定有两个极值点时，的取值范围,以及满足条件，再化简为的函数，最后根据导数确定对应函数单调性，根据单调性证明不等式.

试题解析：解：（Ⅰ）由得，

（ⅰ）时， ，

所以取得极小值，是的一个极小值点．

（ⅱ）时，，令，得

显然，，所以，

在取得极小值，有一个极小值点．

（ⅲ）时，时，即在是减函数，无极值点．

当时，，令，得

当和时，时，，所以在取得极小值，在取得极大值，所以有两个极值点．

综上可知：（ⅰ）时，仅有一个极值点；

（ⅱ） 当时，无极值点；

（ⅲ）当时，有两个极值点．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且

是方程的两根，所以，

，

设，，

所以时，是减函数，，则

所以得证．